——探析新课程理念下的数学概念教学
浙江天台育青中学 周群亚
摘 要：概念是思维的基本形式，具有确定研究对象和任务的作用。数学概念则是客观事物中数与形的本质属性的反映。数学概念是构造数学理论大厦的基石，是导出数学定理和数学法则的逻辑基础，是提高分析问题和解决问题能力的前提，是数学学科的灵魂和精髓。因此，数学概念教学是“双基”教学的核心，是提高学生素质和培养创新能力的必要手段，是数学教学的重要组成部分，应引起足够重视。
关键词：新课程理念 数学概念教学 现状 调查 环节
高中数学课程标准指出：数学中应加强对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解，由于数学高度抽象的特点，注重体现基本概念的来龙去脉。在教学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质。
1 当前数学概念教学中存在的一些问题
1.1 在一定程度上存在着为概念而概念的想法
在教学中，有的老师把数学概念与定理、公式和基本训练割裂开来，认为讲清概念就是讲清课本中的一些定义或者名词、术语。满足于学生记住，甚至熟背这些定义或者名词、术语。在有些定理、公式教学中，必须涉及到有关概念，但有的老师在教学时并没有让学生真正意识到与相关概念的联系。在基本训练中，有的老师也很难让学生体会到相关概念的运用，更不能有意识地使学生加深对概念的理解。久而久之会造成学生学习数学概念的目的不明确，甚至产生学而无用的想法。这也是学生对数学概念的掌握不能巩固，不善于应用的一个主要原因。
1.2 忽视概念的形成
概念的形成是长期的过程，应该有它的培养阶段、巩固阶段和发展阶段。教学中应充分注意学生的认识过程。数学的概念是很抽象的，要使学生掌握它，并不是简单的事。对一个新概念的形成，如果简单从事，学生印象不深刻，甚至还会错误理解。
1.3 忽视学生的接受能力
教学中若对学生要求过高，或者忽视了帮助学生使概念系统化和逐步深化工作，学生就只能学得一知半解，不成体统。学生获得某些概念是需要经过从局部到整体由浅入深的过程。一下子求全求深，学生反而不能掌握，造成模糊。
1.4 置学生处于被动地位
由于概念本身具有严密性、抽象性和明确规定性，教学中往往也较重视培养思维的逻辑性、精确性。在方式上以“告诉”为主让学生“占有”新概念，置学生于被动地位，如果对学生包办、代替过多，学生自己思考的机会就少。使思维呈依赖性，不利于创新型人才的培养。
2 学生学习数学概念的现状
2.1 学生问卷调查
(1)数学概念教学中，对数学定义你认为老师应( )
A. 直接给出，要求学生记住
B. 引导学生从实际问题中归纳
C. 直接给出，要求学生理解
D. 设计问题，由学生自己探索得出
(2)在数学公式、法则、定理教学中，你希望老师( )
A. 直接给出结论，教会学生运用
B. 直接给出结论，要求学生理解
C. 为学生设计问题，由学生自己探索得出
D. 教会学生证明和运用
(3)学生数学概念的重视程度( )
A. 不重视，学而无用
B.一般，不如多做几个题目
C. 较重视
D. 课后很少看概念
(4)当你解题中遇到概念不清而不会解决问题时( )
A. 回归课本，先搞清概念
B. 请教同学或老师如何做题
C. 不会做就放弃思考
D. 请教老师要解决的问题与哪些数学概念有关
2.2 调查结果
题号
|
答案 人数 |
1 |
2 |
3 |
4 | ||
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A |
19 |
14 |
21 |
41 | ||
|
B |
210 |
10 |
98 |
301 | ||
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C |
22 |
389 |
112 |
49 | ||
|
D |
185 |
23 |
205 |
45 |
2.3 高三学生复习数学概念的困惑
在高三复习中，很多学生对以往的数学概念遗忘较多，概念模糊不清甚至毫无印象，使他们在高三复习时感到很吃力。很多学生想回归课本复习数学概念，但又囿于时间不够，即使化了一部分时间去复习概念，而得到的效果不佳。以致一部分学生对概念的复习不能持之以恒，而埋头于题海之中。
3 加大力度进行数学概念的教学，做好概念教学的几个环节
3.1 概念的引入
新课程标准中明确指出“降低一些概念过分形式化要求”，并指出要“改进数学概念教学，强调通过实际情景使学生体验感受和理解”。许多重要的概念都要求在现实情景中去理解，恢复“来源于现实，又扎根于现实的本来面目……”。因此，一个数学概念的建立和形成，必须通过学生的亲身体验、主动建构。为此从引进新概念开始就要创造启发式的教学环境，营造良好的合作氛围。
3.1.1 在实验中领悟数学概念的形成
通过具体实验，引出概念。有些数学概念可以通过引导学生从自己的亲身实验中领悟数学概念的形成。例如“椭圆概念”的教学中，设计如下：
(1)实验：要求学生用事先准备的两个小图钉和一条长度为定长的细线，将细线的两端固定，用铅笔把细线拉紧，使笔尖在纸上慢慢移动，所得图形为椭圆。
(2)提出问题：当细绳的长等于两定点之间的距离时，其轨迹是什么？当细绳的长小于两定点之间的距离时，这样的点存在吗？揭示本质，给出定义。
3.1.2 在游戏中引入
在“游戏”中引入概念教学要以学生获得知识为目的，要以学生为主体，而让学生参与获取知识的活动，体验获得新知识的喜悦心情，则对所学知识掌握得比较牢固。例如，讲等可能事件的概率时，通过抛硬币、掷骰子、抽纸牌、从袋子中抽标有编号的形状、大小相同的小球，理解“等可能”的含义及“一次试验的结果”的含义。从而引出等可能事件概率的定义及求法。把定义放在它产生的背景中去认识和掌握，学生自然会感到格外亲切，而且易于记忆和灵活运用。
3.1.3 观察实物与模型
立体几何中有许多概念，需要通过观察实物或模型，逐次抽象概括出定义。例如：“异面直线的概念”。教材中定义为“不同在任何一个平面内的两条直线”。新课开始若直接给出这种定义，学生理解难度较大。教师应先展示概念产生的背景。如长方体模型和图形，并提出问题：(1)观察长方体的12条棱所在直线的位置关系。(2)除了平行、相交之外，还有哪一种情况发生。（学生不难发现，有平行，有相交，也有既不平行又不相交的两直线）。(3)既不平行又不相交的两直线会在同一平面内吗？据公理3的推论2、3概括出异面直线的定义就不难了，这样学生也容易理解了。这样的引入，使学生觉得概念的形成来自于身边的事物，并且也为培养学生的空间想象能力起到很好的效果。
3.1.4 在温故知新中引入
在旧概念的基础上引入新概念，既加深对旧概念的理解、巩固、掌握，又使新面貌不再陌生。例如“两条异面直线所成的角”的教学中，本人设计了如下问题：
(1)空间不重合的两条直线的位置关系有哪几种？它们各有什么特点？等角定理的内容是什么？
(2)由平面几何知识已知：两条相交直线的相互位置关系是用它们所成角的大小来描述的，两条平行直线的相互位置关系是用它们的距离来描述的，那么两条异面直线的相互位置关系应如何描述呢？
(3)通过模型显示，两条异面直线也可形成大小不同的“角”，两条异面直线也可以形成不同的“距离”。如何寻找一个合适的几何量来刻划两条异面直线之间的倾斜程度和远近程度呢?(学生不难回答，可用“角”和“距离”来描述)。
(4)两条直线相交就构成角，而两条异面直线不相交，哪来的角呢？如何规定两条异面直线所成的角呢？
(5)能否找出两条相关直线所成的角来确定两异面直线所成的角呢？这时学生不难找出三种平移方法作“角”。如图：
b′ a b O a b O a′
图1 图2
a a′ b b′ O
图3
(6)根据问题（5）的分析，异面直线a、b所成角似乎有很多个了，究竟哪个称得上是它们所成的角呢？为什么？
启发学生根据等角定理的推论，说明这些角相等及作出这些角的合理性、确定性。这样就让学生在旧概念的基础上逐渐形成新概念过程，引导学生领悟形成概念的方法，使多数学生处于亢奋状态，增强学生的内在活力，使学生成为自觉主动学习的主体。
当然对于概念的引出，要把握好时间度，如过早的下定义，等于是索然无味的简单灌输，但定义过迟，学生容易失去兴趣，同时使已有知识呈现零乱状态。因此，教师在教学过程中，要引导学生及时整理、总结，在学生情绪高涨的时候及时总结出定义。
3.2 概念的理解。
3.2.1 抓住数学概念的内涵与外延，揭示概念的本质
数学概念是从一些具有相同属性的事物或现象中抽象出来的，这些本质属性就是这一概念的内涵，满足这些内涵的全部对象就是这个概念的外延。在教学中重点讲解定义中属概念和种差，使学生认识到被定义的概念既具有它的属概念的一切属性，又具有它自身独有的特性。这样学生就能初步认识数学概念的内涵和外延。另外，要让学生明确概念的外延不是无限制的延伸，而是受内涵的约束与限制。例如：在“函数的概念”的教学中，到底怎样的代数式才能表示函数关系式？怎样的图象才能是函数的图象？满足什么条件的表格才可以称函数表格等等，都可以通过比较、抽象、概括来得到函数概念的本质，加深对函数概念的理解。
3.2.2 利用命题真假，加深对数学概念的理解
在概念形成后，可以编制与此概念相关的真假命题，也可以通过举反例等突破教学难点。例如，曲线的方程与方程的曲线的概念。设方程
3.2.3 明确概念的充要性，加深对概念的理解
凡是概念都有等价命题，如直线与平面垂直的概念：“如果一条直线和平面内的任何一直线都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直。”反过来，“如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就和这个平面内的任何一条直线都垂直”仍成立，即直线
3.2.4 “形义”结合，理解概念
“形义”结合指的是，在数学概念教学中充分利用图形与实例，使抽象的概念直观化、模型化、具体化，使新旧概念间的关系明朗化、系统化。通过揭示概念“形”与“义”之间的联系，使学生加深对概念的理解和掌握。“形义”结合，“形”是关键，教师要有意识地联系学生生活去认识发掘数学概念的直观形象或实例，并赋其具体意义。在教学中应特别重视数学概念几何意义的揭示，数学概念的几何意义对概念作出直观的解释，它使概念更直观，更易于理解。
3.2.5 加深对表示概念的数学符号的理解
数学概念本身较为抽象，加上符号表示，从而使概念更抽象化，因此教学中必须使学生真正理解符号的含义。如反三角函数中的记号
